Комплексная арифметика > Руководство пользователя

Комплексным числом называется выражение вида x + i*y, где x и y – любые действительные числа, а i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Величины x и y называются действительной и мнимой частью комплексного числа. Комплексные числа нашли применение в ряде областей математики и физики (в частности, в расчетах цепей переменного тока). В библиотеке OSCAT комплексные числа представляют собой экземпляры структуры COMPLEX, которая состоит из двух переменных: re (целая часть комплексного числа) и im (мнимая часть действительного числа). В данной главе описаны функции, используемые для работы с комплексными числами.

CABS

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CABS	REAL	Модуль комплексного числа
Используемые модули	HYPOT

Функция CABS возвращает модуль комплексного числа X, вычисленный по формуле

Пример

VAR
    z : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* z = 2.5 + i*0.5 *)
    m : REAL;                  (* |z| *)
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

m := OSCAT_BASIC.CABS(X := z);  (* m ≈ 2.5495098 *)

END_PROGRAM

CACOS

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CACOS	COMPLEX	Арккосинус комплексного числа
Используемые модули	CACOSH

Функция CACOS возвращает арккосинус комплексного числа X. Действительная часть полученного результата принадлежит интервалу [0, π], мнимая принадлежит интервалу [- Ꝏ,Ꝏ].

Пример

VAR
    z   : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* z = 2.5 + i*0.5 *)
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* res = CACOS(z) *)
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

res := OSCAT_BASIC.CACOS(X := z);   (* результат комплексный: res.re ≈ 0.214, 
                                    res.im ≈ -1.59*)

END_PROGRAM

CACOSH

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CACOSH	COMPLEX	Гиперболический арккосинус комплексного числа
Используемые модули	CSQRT, CLOG

Функция CACOSH возвращает гиперболический арккосинус комплексного числа X. Мнимая часть полученного результата принадлежит интервалу [- π, π].

Пример

VAR
    z   : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* z = 2.5 + i*0.5 *)
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* res = CACOSH(z) *)
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

res := OSCAT_BASIC.CACOSH(X := z);  (* результат комплексный: res.re ≈ 1.59, 
                                     res.im ≈ 0.214*)

END_PROGRAM

CADD

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Входы	Y	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CADD	COMPLEX	Сумма комплексных чисел

Функция CADD возвращает сумму комплексных чисел X и Y.

Пример

VAR
    x   : OSCAT_BASIC.COMPLEX := (re := 2.5, im := 0.5);
    y   : OSCAT_BASIC.COMPLEX := (re := 4.5, im := 1.5);
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;
    res_re : REAL;
    res_im : REAL;
END_VAR


res := OSCAT_BASIC.CADD(X := x, Y := y);   (* res.re = 7.0, res.im = 2.0*)
res_re := res.re;
res_im := res.im;

END_PROGRAM

CARG

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CARG	REAL	Угол между осью действительных чисел и радиус-вектором геометрического представления комплексного числа X в радианах
Используемые модули	ATAN2

Функция CARG возвращает значение угла (в радианах) между осью действительных чисел и радиус-вектором геометрического представления комплексного числа X.

Геометрическое представление комплексного числа

Пример

VAR
    z   : OSCAT_BASIC.COMPLEX;  (* z = 2.5 + i*0.5 *)
    ang : REAL;                 (* аргумент z, рад *)
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

ang := OSCAT_BASIC.CARG(X := z);   (* ang = atan2(0.5, 2.5) ≈ 0.19739556 рад *)

END_PROGRAM

CASIN

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CASIN	COMPLEX	Арксинус комплексного числа
Используемые модули	CASINH

Функция CASIN возвращает арксинус комплексного числа X. Мнимая часть полученного результата принадлежит интервалу .

Пример

VAR
    z   : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* z = 2.5 + i*0.5 *)
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* результат CASIN(z) *)
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

res := OSCAT_BASIC.CASIN(X := z);

END_PROGRAM

CASINH

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CASINH	COMPLEX	Гиперболический арксинус комплексного числа

Функция CASINH возвращает гиперболический арксинус комплексного числа X. Мнимая часть полученного результата принадлежит интервалу [- π, π].

Пример

VAR
    z   : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* входное комплексное число *)
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* результат CASINH(z) *)
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

res := OSCAT_BASIC.CASINH(X := z);  (* res.re ≈ 1.66, res.re ≈ 0.184 *)

END_PROGRAM

CATAN

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CATAN	COMPLEX	Арктангенс комплексного числа

Функция CATAN возвращает арктангенс комплексного числа X. Мнимая часть полученного результата принадлежит интервалу .

Пример

VAR
    z   : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* z = 2.5 + i*0.5 *)
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* res = CATAN(z) *)
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

res := OSCAT_BASIC.CATAN(X := z);  (* результат комплексный res.re ≈ -0.369, 
                                    res.im ≈ 0.0671 *)

END_PROGRAM

CATANH

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CATANH	COMPLEX	Гиперболический арктангенс комплексного числа

Функция CATANH возвращает гиперболический арктангенс комплексного числа X. Мнимая часть полученного результата принадлежит интервалу .

Пример

VAR
    z   : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* z = 2.5 + i*0.5 *)
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* res = CATANH(z) *)
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

res := OSCAT_BASIC.CATANH(X := z);  (* результат комплексный res.re ≈ 0.402, 
                                     res.im ≈ -0.0899 *)

END_PROGRAM

CCON

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CCON	COMPLEX	Сопряженное число

Функция CCON возвращает сопряженное число для комплексного числа X.

Геометрическое представление сопряженных чисел

Пример

VAR
    z    : OSCAT_BASIC.COMPLEX;
    conj : OSCAT_BASIC.COMPLEX;
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

conj := OSCAT_BASIC.CCON(X := z);   (* conj = 2.5 + i*(-0.5) *)

END_PROGRAM

CCOS

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CCOS	COMPLEX	Косинус комплексного числа
Используемые модули	CCOSH, CSET

Функция CCOS возвращает косинус комплексного числа X.

Пример

VAR
    z   : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* z = 2.5 + i*0.5 *)
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* res = cos(z) *)
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

res := OSCAT_BASIC.CCOS(X := z);   (* результат комплексный res.re ≈ -0.903, 
                                   res.im ≈ -0.312 *)

END_PROGRAM

CCOSH

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CCOSH	COMPLEX	Гиперболический косинус комплексного числа
Используемые модули	COSH, SINH

Функция CCOSH возвращает гиперболический косинус комплексного числа X.

Пример

VAR
    z   : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* z = 2.5 + i*0.5 *)
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* res = cosh(z) *)
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

res := OSCAT_BASIC.CCOSH(X := z);   (* результат комплексный res.re ≈ 5.38, 
                                    res.im ≈ 2.9 *)

END_PROGRAM

CDIV

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Входы	Y	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CDIV	COMPLEX	Частное комплексных чисел

Функция CDIV возвращает частное комплексных чисел X и Y.

Пример

VAR
    X   : OSCAT_BASIC.COMPLEX := (Re := 2.5, Im := 0.5);   
    Y   : OSCAT_BASIC.COMPLEX := (Re := 4.5, Im := 1.5);    
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* Результат деления *)   
END_VAR

(* Вызов функции CDIV для деления X на Y *)
res := OSCAT_BASIC.CDIV(X := X, Y := Y); (*res.re ≈ 0.533, res.im ≈ -0.0667 *)

END_PROGRAM

CEXP

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CEXP	COMPLEX	Экспонента комплексного числа

Функция CEXP возвращает значение экспоненты комплексного числа X.

Пример

VAR
    x : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* входное комплексное число *)
    y : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* результат вычисления экспоненты *)
END_VAR

x.re := 2.5;
x.im := 0.5;

y := OSCAT_BASIC.CEXP(x := x); (* y.re ≈ 10.691, y.im ≈ 5.84 *)

END_PROGRAM

CINV

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CINV	COMPLEX	Обратное комплексное число

Функция CINV возвращает обратное число для комплексного числа X.

Пример

VAR
    x : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* входное комплексное число *)
    y : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* результат *)
END_VAR

x.re := 2.5;
x.im := 0.5;

y := OSCAT_BASIC.CINV(x := x);   (* y.re ≈ 0.385, y.im ≈ -0.0769 *)

END_PROGRAM

CLOG

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CLOG	COMPLEX	Натуральный логарифм комплексного числа
Используемые модули	HYPOT, ATAN2

Функция CLOG возвращает значение натурального логарифма для комплексного числа X.

Пример

VAR
    x : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* входное комплексное число *)
    y : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* значение натурального логарифма *)
END_VAR

x.re := 2.5;
x.im := 0.5;

y := OSCAT_BASIC.CLOG(x := x);   (* y.re ≈ 0.936, y.im ≈ 0.197 *)

END_PROGRAM

CMUL

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Входы	Y	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CMUL	COMPLEX	Произведение комплексных чисел

Функция CMUL возвращает произведение комплексных чисел X и Y.

Пример

VAR
    x   : OSCAT_BASIC.COMPLEX := (re := 2.5, im := 0.5);
    y   : OSCAT_BASIC.COMPLEX := (re := 4.5, im := 1.5);
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;
    res_re : REAL;
    res_im : REAL;
END_VAR


res := OSCAT_BASIC.CMUL(X := x, Y := y);   (* res.re = 10.5, res.im = 6.0*)
res_re := res.re;
res_im := res.im;

END_PROGRAM

CPOL

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	L	REAL	Радиус-вектор
Входы	A	REAL	Угол между осью действительных чисел и радиус-вектором в радианах
Выходы	CPOL	COMPLEX	Комплексное число

Функция CPOL возвращает комплексное число, представленное в геометрическом виде радиус-вектором L и углом (в радианах) между осью действительных чисел и радиус-вектором A.

VAR
    L :   REAL := 5.0;   (* радиус-вектор*)
    A :   REAL := 0.785; (* угол в радианах (≈ 45 градусов)*)
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;
END_VAR

(* вызов функции для преобразования полярных координат в комплексное число*)
res := OSCAT_BASIC.CPOL(L := L, A := A);   (* res ≈ 3.5355 + 3.5355i*)

END_PROGRAM

CPOW

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Входы	Y	COMPLEX	Показатель степени комплексного числа
Выходы	CPOW	COMPLEX	Комплексное число, возведенное в степень
Используемые модули	CEXP, CMUL, CLOG

Функция CPOW возвращает комплексное число X, возведенное в степень Y. Показатель степени Y также является комплексным числом.

Пример

VAR
    x   : OSCAT_BASIC.COMPLEX := (re := 2.5, im := 0.5);
    y   : OSCAT_BASIC.COMPLEX := (re := 4.5, im := 1.5);
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;
    res_re : REAL;
    res_im : REAL;
END_VAR


res := OSCAT_BASIC.CPOW(X := x, Y := y);   (* res.re ≈ -33.1, res.im ≈ 37.7*)
res_re := res.re;
res_im := res.im;

END_PROGRAM

CSET

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	RE	REAL	Действительная часть комплексного числа
Входы	IM	REAL	Мнимая часть комплексного числа
Выходы	CSET	COMPLEX	Комплексное число

Функция CSET возвращает комплексное число c действительной частью X и мнимой частью Y.

VAR
    RE  : REAL := 2.5; (* радиус-вектор*)
    IM  : REAL := 0.5; (* угол в радианах (≈ 45 градусов)*)
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;
END_VAR

(* вызов функции для преобразования вещественных чисел в комплексное число*)
res := OSCAT_BASIC.CSET(RE := RE, IM := IM);   (* res = 2.5 + 0.5i*)

END_PROGRAM

CSIN

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CSIN	COMPLEX	Синус комплексного числа
Используемые модули	CCOSH, CSINH

Функция CSIN возвращает синус комплексного числа X.

Пример

VAR
    z   : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* z = 2.5 + i*0.5 *)
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* res = sin(z) *)
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

res := OSCAT_BASIC.CSIN(X := z);   (* результат комплексный res.re ≈ 0.675, 
                                   res.im ≈ -0.417 *)

END_PROGRAM

CSINH

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CSINH	COMPLEX	Гиперболический синус комплексного числа
Используемые модули	COSH, SINH

Функция CSINH возвращает гиперболический синус комплексного числа X.

Пример

VAR
    z   : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* z = 2.5 + i*0.5 *)
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* res = CSINH(z) *)
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

res := OSCAT_BASIC.CSINH(X := z);  (* результат комплексный: res.re ≈ 5.31, 
                                    res.im ≈ 2.94 *)

END_PROGRAM

CSQRT

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CSQRT	COMPLEX	Квадратный корень комплексного числа
Используемые модули	HYPOT, SGN

Функция CSQRT возвращает квадратный корень комплексного числа X.Пример

VAR
    z   : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* z = 2.5 + i*0.5 *)
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* квадратный корень комплексного числа *)
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

res := OSCAT_BASIC.CSQRT(X := z);  (* результат комплексный: res.re ≈ 1.59, 
                                    res.im ≈ 0.157 *)

END_PROGRAM

CSUB

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Входы	Y	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CSUB	COMPLEX	Разность комплексных чисел

Функция CSUB возвращает разность комплексных чисел X и Y.

Пример

VAR
    x   : OSCAT_BASIC.COMPLEX := (re := 2.5, im := 0.5);
    y   : OSCAT_BASIC.COMPLEX := (re := 4.5, im := 1.5);
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;
    res_re : REAL;
    res_im : REAL;
END_VAR


res := OSCAT_BASIC.CSUB(X := x, Y := y);   (* res.re = -2.0, res.im = -1.0*)
res_re := res.re;
res_im := res.im;

END_PROGRAM

CTAN

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CTAN	COMPLEX	Тангенс комплексного числа
Используемые модули	COSH, SINH

Функция CTAN возвращает тангенс комплексного числа X.

Пример

VAR
    z   : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* z = 2.5 + i*0.5 *)
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* res = tan(z) *)
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

res := OSCAT_BASIC.CTAN(X := z);   (* результат комплексный res.re ≈ -0.525, 
                                    res.im ≈ 0.643 *)

END_PROGRAM

CTANH

Тип модуля: функция	Переменная	Тип	Описание
Входы	X	COMPLEX	Комплексное число
Выходы	CTANH	COMPLEX	Гиперболический тангенс комплексного числа
Используемые модули	COSH, SINH

Функция CTANH возвращает гиперболический тангенс комплексного числа X.

Пример

VAR
    z   : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* z = 2.5 + i*0.5 *)
    res : OSCAT_BASIC.COMPLEX;   (* res = CTANH(z) *)
END_VAR

z.re := 2.5;
z.im := 0.5;

res := OSCAT_BASIC.CTANH(X := z);   (* результат комплексный res.re ≈ 0.993, 
                                     res.im ≈ 0.0113 *)

END_PROGRAM